حدسية بوانكاريه - مسألة الألفية التي تم حلها

 حدسية بوانكاريه

في سنة 2003، قدم عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيريلمان حلا لواحدة من أكبر مسائل الطبولوجيا، مسألة بقيت بدون حل لمدة 100 سنة تقريبا.

ربح غريغوري بيريلمان مبلغ مليون دولار كونه تمكن من حل إحدى امسائل الألفية، لكنه رفض هذه المكافأة قبل أن يغلق باب الرياضيات الأكاديمية نهائيا و يعود للعيش رفقة امه في إحدى ضواحي مدينة سان بطرسبرج.

المسألة التي تمكن بيريلمان من حلها تسمى حدسية بوانكاريه.

1. حدسية بوانكاريه

في سنة 2000 اقترح معهد كلاي على المجتمع العلمي قائمة من سبع مسائل مفتوحة وخصص مبلغ مليون دولار لمن يجد حل أي واحدة منهن. 

هذه المسائل هي:

فرضية ريمان
مسألة P=NP
حدسية بوانكاريه
حدسية هودج
حدسية بيرتش-داير
معادلات نافييه-ستوكس
معادلات يانغ-ميلز

يوجد عدد قليل من علماء الرياضيات الذين يعملون على هذه المسائل و يتوقعون كسب المليون دولار ، لكن من الصعب تفويت المكانة التي تمثلها هذه المسائل، انظر فقط إلى الحماس الذي أحدثه مايكل عطية في سبتمبر 2018 عندما أعلن أنه أثبت فرضية ريمان.

تقول حدسية بوانكاريه - أو نظرية بيريلمان : كل تنوع هندسي، في أبعاد مدمجة، متصل ببساطة، بدون حدود، وثلاثي الأبعاد، هو مماثل طوبولوجيا لكرة ثلاثية الأبعاد.

إذا كنت شخصًا عاديًا وبعيدا عن الرياضيات و الطوبولوجيا ، فإن المصطلح الرياضي الوحيد الذي فهمته من هذا النص هو كلمة "كرة". لذلك سنحاول شرح كلمات "تنوع هندسي"، "أبعاد مدمجة"، "متصل ببساطة" و جميع الكلمات الواردة في نص حدسية بوانكاريه.

2. شرح مفردات حدسية بوانكاريه

2.1. التنوع الهندسي و أبعاده

التنوع الهندسي أو الطبولوجي هو ببساطة فضاء، أو مساحة هندسية يمكننا التنقل فيها.

لنأخذ على سبيل المثال لعبة Snake التي صدرت في هواتف نوكيا البدائية: يمكن للأفعى أن تتنقل أفقيا : الى اليمين أو الى اليسار. وكذلك عموديا إلى الأعلى و الأسفل.

وبما أن الأفعى يمكنها التنقل في هذين الإتجاهين مهما كان موقعها، فإنه يمكننا القول أنها تعيش في فضاء طوبولوجي له بعدين.

فأبعاد التنوع الهندسي هي ببساطة الإتجاهات التي يمكننا التنقل فيها داخل هذا الفضاء.

2.2. حدود الفضاء الهندسي

الآن إذا تجاوزت الأفعى حدود الشاشة من الأعلى فإنها تظهر من الأسفل، وإذا تجاوزت حدود الشاشة من اليمين فإنها تعاود الظهور من اليسار.

يمكن للاعب تفسير انتقال الأفعى على أنه انتقال فوري ، لكن الأفعى لا تلاحظ ذلك ،إنها تتحرك فقط في اتجاه واحد. لذلك ، فإن حواف الشاشة ليست حوافا في الحقيقة. فالعالم الذي تعيش فيه هذه الأفعى ليس مجرد مستطيل بسيط. 

هذا يعنى أن الفضاء التي تعيش داخله الأفعى لا توجد فيه حواجز أو حدود، أو أطراف. فهو فضاء بدون حدود.

2.3. التماثل الطبولوجي 

يمكننا القول إذا أن الحافة اليمنى متصلة بالحافة اليسرى، و الحافة العليا متصلة بالحافة السفلى. إذا أخذنا قطعة ورق مستطيلة و الصقنا الحافة اليمنى باليسرى فسنتحصل على اسطوانة، ثم إذا أخذنا طرفي الاسطوانة و ألصقناهما ببعضهما، فسنتحصل على هذا الشكل :

وهذا بالضبط شكل العالم الذي تعيش داخله الافعى. يمكننا القول إذا أن عالم لعبة Snake مماثل طبولوجيا للشكل الحلقي.

فالتماثل الطبولوجي بين شكلين يعني انه يمكننا أن نشوه أحدهما ليصبح مثل الشكل الآخر شرط أن لا نحدث تمزقا فيه. فعندما يقول الطوبولوجي أن شيئين متماثلان ، فهذا يعني أنه من الممكن تشويه أحدهما إلى الآخر ، والعكس صحيح.

2.4. الشكل المتصل و الشكل ذو الأبعاد المدمجة

الشكل المتصل هو تنوع هندسي يحتوي على جزء واحد و ليس جزئين منفصلين. فعلامة '=' مثلا هي تنوع هندسي و لكنه ليس متصلا.

من بين الأشكال أحادية الأبعاد هناك المستقيم، و هو خط يمتد بشكل مستقيم الى ما لا نهاية، أي أنه دون حدود. وبما أن الطوبولوجيا هو علم تحويل الأشكال لتتماثل طبولوجيا، فيمكننا تشويه المستقيم ونقلصه ليصبح محدودا داخل المجال  ] 0،1 [ أي مجموعة الأعداد التي توجد بين 0 و 1، لكن هذا المجال الذي تم الحصول عليه غير مغلق فهو لا يشمل النقاط 0 و 1.

عندما يكون التنوع الهندسي مغلقًا ومحدودًا في نفس الوقت، يُقال إنه مدمج. و الخط المستقيم إذا غير مدمج.

3. التنوعات الهندسية ثنائية الأبعاد

لنحاول معا إحصاء التنوعات الهندسية ثنائية الابعاد، أي التي لها مساحة. 

تحدثنا قبل قليل عن الشكل الحلقي.
ولدينا أيضا الإسطوانة، القريبة من الشكل الحلقي و لكنها تحتوي على حدود. 
ولدينا أيضا المستوي R2 وهي المساحة التي نجري فيها عمليات الهندسة الإقليدية، و هي فضاء ثنائي الأبعاد دون حدود.
لدينا كذلك القرص، وهو مساحة ذات حدود على شكل دائرة.
وهناك تنوع هندسي آخر غير مألوف وهو شريط موبيوس  وهو شكل تحصل عليه إذا قمت بإلصاق طرفي شريط (مستطيل الشكل)  بعد أن تقوم بجعل أحد أطرافه يقوم بنصف دورة. وهو شكل ذو حدود. و له العديد من الخصائص المثيرة للإهتمام. ولدينا كذلك زجاجة كلاين التي نتحصل عليها عبر ألصاق اثنين من شريط موبيوس ببعضهما. وكذلك هناك بعض الأشكال المعقدة التي نتحصل عليها عبر دمج زجاجات كلاين مع بعضها و تسمى مستويات الإسقاط.
وأخيرا لدينا الكرة الفارغة من الداخل.

إذا قمنا بفرز جميع هذه الأشكال التي جمعناها فسنحصل على أشكال ذات حدود و أشكال بدون حدود، وأخرى مدمجة و أخرى غير مدمجة...

أخيرا إذا اقتصرنا فقط على التنوعات الهندسية المتصلة و المدمجة و التي لا تحتوي على حدود، سنتحصل على ثلاث عائلات وهي الكرة، و الحلقة، و مستويات الإسقاط.

لكن من بين كل هذه الأشكال، هناك واحدة ذات خصائص فريدة، إنها الكرة، فهي شكل متصل ببساطة، أي أنه إذا كان هناك شريط مرن على سطحها ، فسيكون من الممكن دائمًا تصغيره حتى يشكل نقطة واحدة. وهذا هو موضوع حدسية بوانكاريه، كل تنوع هندسي مدمج ثنائي الأبعاد ومتصل ببساطة هو مماثل طوبولوجيا للكرة. ولكن هذه النظرية هي حدسية بوانكاريه للأشكال ثنائية الأبعاد وقد تم حلها بالفعل عن طريق هنري بوانكاريه.

4. حدسية بوانكاريه و الواقع

تنص حدسية بوانكاريه الحقيقية على أن أي تنوع هندسي ثلاثي الأبعاد مضغوط ، ومتصل ببساطة ، وبلا حدود ، يكون متماثلًا مع كرة ثلاثية الأبعاد. 

في الحقيقة، ليس من السهل تخيل الأشكال ثلاثية الأبعاد، فهي غير موجودة في عالمنا، و مشاهدتها تتطلب وجودك في عالم به أربعة أبعاد مكانية.

تتساءل حدسية بوانكاريه، بطريقة غير مباشرة عن شكل كوننا، فالكون كما نراه على مقياسنا نحن هو تنوع هندسي ثلاثي الأبعاد، لأنه بغض النظر عن النقطة التي أكون فيها في الكون ، سيكون لدي دائمًا إمكانية التحرك في ثلاثة اتجاهات حرة. 

وبما ان عمر الكون قريب من 14 مليار سنة ، فإن الضوء القادم من الجزء الأبعد من الكون قد سافر خلال هذه الـ 14 مليار سنة بسرعة تبلغ 300000 كم / ثانية. 

مع الأخذ في الاعتبار توسع الكون ، يمكننا أن نحسب أن أبعد الأجسام المرئية تبعد عنا الآن 46.5 مليار سنة ضوئية.

لذلك فإن شكل الكون هو كرة نصف قطرها 46.5 مليار سنة ضوئية ومركزها نحن. أو بالأحرى ، الكون المرئي هو الذي يتخذ شكل هذه الكرة ، وهو ما يعطي أول مثال بسيط إلى حد ما لتنوع هندسي ثلاثي الأبعاد.

أما الكون ككل ، فإن الأمر قد يبدو غامضا. الفكرة الأولى لأي شخص هي أن يقول أن الكون لانهائي. ولانهائي في كل الاتجاهات، وسيكون بذلك له شكل فضاء الهندسة الإقليدية ، R3. 

ومع ذلك ، يمكن أن يكون الأمر مختلفًا تمامًا. من الممكن أن يكون مدمجا ، أو للتبسيط ،يمكن أن يكون حجمه نهائي. و قد لا يكون له حدود. تماما مثل الكرة ثلاثية الأبعاد.